Question

已知定義域為（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：
①對?x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）；
②當(dāng)x∈（1，2]時，f（x）=2-x．
（1）求f（16）的值；
（2）證明：對?m∈Z，有f（2^m）=0；
（3）是否存在整數(shù)n，是的f（2ⁿ+1）=9？若存在，求出相應(yīng)的n的值．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：連續(xù)利用題中第①②個條件得到（1）（2）；利用反證法及2^x變化如下：2，4，8，16，32，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）f（16）=2f（8）=4f（4）=8f（2）=0；
（2）∵對?x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x），
∴f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2），
∵當(dāng)x∈（1，2]時，f（x）=2-x，
∴f（2）=0，
∴對?m∈Z，有f（2^m）=0；
（3）f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假設(shè)存在n使f（2ⁿ+1）=9，即存在x₁，x₂，2x1-2x2=10，又，2^x變化如下：2，4，8，16，32，顯然不存在，所以該命題錯誤．

點評：本題通過抽象函數(shù)，考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，以及學(xué)生的綜合分析能力，難度不大．