Question

7．已知z=x²+y²，其中實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}-x+y≤1\\ x+2y≥2\\ x-2≤0\end{array}\right.$，則z的最小值是（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{7}{9}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²的取值為原點(diǎn)O到可行域內(nèi)任一點(diǎn)P距離的平方；
畫出可行域，找出最優(yōu)解是點(diǎn)O到直線x+2y=2的距離d，
從而求出目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²的最小值．

解答 解：目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²的取值即為原點(diǎn)O（0，0）到平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)P距離的平方；
實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{-x+y≤1}\\{x+2y≥2}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$的平面區(qū)域是如圖中A，B，C三點(diǎn)圍成的三角形區(qū)域，

由圖得：只有當(dāng)取點(diǎn)O到直線x+2y=2的距離時(shí)，
O（0，0）到平面區(qū)域ABC內(nèi)一點(diǎn)的距離最小；
點(diǎn)O到直線x+2y=2的距離為d=$\frac{|0+0-2|}{\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²的最小值是d²=${（\frac{2\sqrt{5}}{5}）}^{2}$=$\frac{4}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于分析出目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²的取值即為O（0，0）到平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)距離的平方．