【題目】(12分)某同學參加3門課程的考試。假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為,第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為,(>),且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立。記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù),其分布列為
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率;
(Ⅱ)求,的值;
(Ⅲ)求數(shù)學期望ξ。
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【題目】已知實數(shù)對(x,y),設映射f:(x,y)→( , ),并定義|(x,y)|= ,若|f[f(f(x,y))]|=4,則|(x,y)|的值為( )
A.4
B.8
C.16
D.32
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【題目】設函數(shù)f(x)=aexlnx+ ,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處得切線方程為y=e(x﹣1)+2.
(Ⅰ)求a、b;
(Ⅱ)證明:f(x)>1.
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【題目】已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=120°,AB=AC=1,AA1=2,若棱AA1在正視圖的投影面α內,且AB與投影面α所成角為θ(30°≤θ≤60°),設正視圖的面積為m,側視圖的面積為n,當θ變化時,mn的最大值是( )
A.2
B.4
C.3
D.4
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【題目】某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀),高度恒定,它的后墻利用舊墻不花錢,正面用鐵柵,每米長造價40元,兩側墻砌磚,每米長造價45元,頂部每平方米造價20元。
(1)設鐵柵長為米,一堵磚墻長為米,求函數(shù)的解析式;
(2)為使倉庫總面積達到最大,正面鐵柵應設計為多長?
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【題目】根據調查,某學校開設了“街舞”、“圍棋”、“武術”三個社團,三個社團參加的人數(shù)如下表所示:
為調查社團開展情況,學校社團管理部采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為n的樣本,已知從“街舞”社團抽取的同學8人
社團 | 街舞 | 圍棋 | 武術 |
人數(shù) | 320 | 240 | 200 |
(Ⅰ)求n的值和從“圍棋”社團抽取的同學的人數(shù);
(Ⅱ)若從“圍棋”社團抽取的同學中選出2人擔任該社團活動監(jiān)督的職務,已知“圍棋”社團被抽取的同學中有2名女生,求至少有1名女同學被選為監(jiān)督職務的概率.
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【題目】已知集合M={x|9x﹣43x+1+27=0},N={x|log2(x+1)+log2x=log26},則M、N的關系是( )
A.MN
B.NM
C.M=N
D.不確定
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【題目】下列說法正確的是( ).
A. ,“”是“”的必要不充分條件
B. “且為真命題”是“或為真命題” 的必要不充分條件
C. 命題“,使得”的否定是:“”
D. 命題:“”,則是真命題
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【題目】等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),a1=3,前n項和為Sn,{bn}為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.
(1)求an與bn;
(2)求
【答案】(1)an=2n+1,bn=8n-1.(2)
【解析】
(1)設{an}的公差為d,{bn}的公比為q,由題設條件建立方程組,解方程組得到d和q的值,從而求出an與bn;(2)由Sn=n(n+2),知,由此可求出的值.
(1)設{an}的公差為d,{bn}的公比為q,則d為正數(shù),
an=3+(n-1)d,bn=qn-1,
依題意有,
解得或 (舍去).
故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.
(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2).
所以++…+=+++…+
= (1-+-+-+…+-)
= (1+--)
=-.
【點睛】
這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法;數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關系,求表達式,一般是寫出做差得通項,但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用;數(shù)列求和常用法有:錯位相減,裂項求和,分組求和等。
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.
(1)當n∈N+,求f(n)的表達式;
(2)設an=nf(n),n∈N+,求證:a1+a2+…+an<2.
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