Question

【題目】已知函數(shù)．（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）若，求在上的極大值點；

（2）（）證明在上單調(diào)遞增；

（）求關(guān)于的方程在上的實數(shù)解的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）證明見解析，（）當(dāng)時，方程在上的實數(shù)解的個數(shù)為，當(dāng)時，方程在上的實數(shù)解的個數(shù)為.

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間即可得到函數(shù)的極大值點.

（2）（）首先根據(jù)的單調(diào)性只需證明，將問題轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合的單調(diào)性即可證明.（ii）首先證明，再證明函數(shù)的最大值，設(shè)，分別求出和的零點個數(shù)，從而得到方程解得個數(shù).

（1）.

當(dāng)時，.

	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

所以函數(shù)的極大值點為.

（2）（）因為，所以在上必存在唯一的實數(shù)，使得.

所以，，為增函數(shù)，

，，為減函數(shù).

要證明在上單調(diào)遞增，只需證明即可.

又因為，所以，

即證即可.

設(shè)，，所以在為減函數(shù).

當(dāng)時，，，即，

即證，

所以在上單調(diào)遞增.

（）先證明時，.

設(shè)，，，

因為，所以，在為增函數(shù).

所以，即.

再證明函數(shù)的最大值.

因為，所以，.

因為，所以.

所以.

下面證，令，則，

即證，，，.

設(shè)，，

所以函數(shù)為增函數(shù).

當(dāng)時，，即.

即證：.

設(shè)，，

當(dāng)時，，，

且在為減函數(shù)，所以在上有唯一零點.

當(dāng)時，，，且在為增函數(shù).

①當(dāng)時，，即，所以在上沒有零點.

②當(dāng)時，，即，所以在上有唯一零點.

綜上所述：當(dāng)時，方程在上的實數(shù)解的個數(shù)為，

當(dāng)時，方程在上的實數(shù)解的個數(shù)為.