Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+ax）-x²（a＞0，x∈（0，1]）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值，通過(guò)導(dǎo)數(shù)大于0從而確定出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間即可，求單調(diào)遞增區(qū)間必須注意函數(shù)的定義域．
（II）先從不等式分離出參數(shù)λ，即，欲使此式恒成立，只須λ不小于右邊函數(shù)式的最大值即可，對(duì)其求導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值點(diǎn)，通過(guò)研究單調(diào)性從而確定出最大值，進(jìn)而求出變量λ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）（2分）
=，
由-2ax²-2x+a=0，得．
∵a＞0，∴，．
又∵．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．（6分）

（Ⅱ）不等式可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180709378953959/SYS201310241807093789539018_DA/10.png">，即為．
設(shè)（x≥1），，
令g'（x）=0，得x=-1或x=2．（10分）
∵當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，g'（x）＞0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，g'（x）＜0．
∴當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取得最大值．
因此，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過(guò)比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．