Question

已知函數(shù)（為常數(shù)）．

（1）若是函數(shù)的一個極值點，求的值；

（2）當(dāng)時，試判斷的單調(diào)性；

（3）若對任意的 ，使不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）3；（2）在上是增函數(shù)；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，，在由可求得；（2）在中由于，判斷函數(shù)的正負號，從而確定函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，由(2)知，在[1，2]上的最小值為，

故問題等價于：對任意的，不等式恒成立．分離變量恒成立，構(gòu)造函數(shù)

記，（），由導(dǎo)數(shù)法求解.

依題意，，

（1）由已知得：，∴，∴．（3分）

（2）當(dāng)時，，

因為，所以，而，即，

故在上是增函數(shù)．（8分）

（3）當(dāng)時，由(2)知，在[1，2]上的最小值為，

故問題等價于：對任意的，不等式恒成立．即恒成立

記，（），則，

令，則

所以，所以,

故，所以在上單調(diào)遞減所以

即實數(shù)的取值范圍為．（13分）

考點：導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造法.