Question

在邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：CF∥平面A₁DE；
（2）求點(diǎn)A到平面A₁DE的距離．

Answer 1

解 分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角
坐標(biāo)系，則A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（0，0，1），則
=（2，0，2），=（1，2，0）
設(shè)平面A₁DE的法向量是
則，
（1），
∴，∴，
所以，CF∥平面A₁DE．
（2）點(diǎn)A到平面A₁DE的距離是
d=．
點(diǎn)A到平面A₁DE的距離．
分析：先分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（0，0，1），再寫出向量，的坐標(biāo)，求出平面A₁DE的法向量．
（1）利用向量坐標(biāo)之間的關(guān)系證得，從而得出CF∥平面A₁DE．
（2）利用向量的點(diǎn)到平面的距離公式即可求得點(diǎn)A到平面A₁DE的距離．
點(diǎn)評：本小題主要考查點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算、直線與平面平行的判定等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象能力．屬于基礎(chǔ)題．