Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2若函數(shù)有兩個零點分別記為．

①求的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】⑴見解析；⑵見解析；⑶見證明

【解析】

（1），可分四種情況討論的符號后可得的單調(diào)性．

（2）①結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性討論，當時，無兩個零點，當時，利用零點存在定理可得有兩個不同的零點，當時，利用時恒成立得到在上沒有零點，當時，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及可得在上不可能有兩個零點．

②結(jié)合函數(shù)的導數(shù)可知原不等式的證明可歸結(jié)為，構(gòu)建新函數(shù)，利用導數(shù)可證在上為單調(diào)增函數(shù)，設，利用及可得．

（1），

（i）當時，，

時，單調(diào)遞減；

時，單調(diào)遞增．

（ii）當時，

時，單調(diào)遞增；

時，單調(diào)遞減；

時，單調(diào)遞增．

（iii）當時，恒成立，在上單增．

（iv）當時，

時，單調(diào)遞增；

時，單調(diào)遞減，

時，單調(diào)遞增．

綜上所述：時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；

時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

時，在上單調(diào)遞增；

時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.

（2）①，

（i）當時，，只有一個零點，舍去；

（ii）當時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

又，取且，

則

，

存在兩個零點．

（iii）當時，在上單調(diào)遞增，時，

不可能有兩個零點，舍去．

（iv）當時，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，舍去．

（v）當時，時，，又在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因，不可能有兩個零點，舍去．

綜上所述：．

②由①知：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

要證， 即證，即證，

令，則

當時，單調(diào)遞增．

不妨設，則，即，

又 ，，

在上單調(diào)遞減， ， ，原命題得證．