Question

（14分）已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E為棱AB的中點，求：

（Ⅰ）D₁E與平面BC₁D所成角的大小；

（Ⅱ）二面角D－BC₁－C的大小；

（Ⅲ）異面直線B₁D₁與BC₁之間的距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）（即）；（2）；（3）。

【解析】

試題分析：解：建立坐標(biāo)系如圖，則、，，

，，，，，

，，．

（Ⅰ）不難證明為平面BC₁D的法向量，

∵

∴  D₁E與平面BC₁D所成的角的大小為  （即）．

（Ⅱ）、分別為平面BC₁D、BC₁C的法向量，

∵ ，∴  二面角D－BC₁－C的大小為．

（Ⅲ）∵ B₁D₁∥平面BC₁D，∴ B₁D₁與BC₁之間的距離為．

考點：本題主要考查空間向量的應(yīng)用,綜合考查向量的基礎(chǔ)知識。

點評：以向量為工具，利用空間向量坐標(biāo)及數(shù)量積，求點到平面的距離、求直線與平面所成的角是立體幾何中的常見問題和處理手段．