Question

19．在等比數(shù)列{a_n}中，若a_n＞0，a₇=2，則$\frac{1}{a_3}+\frac{2}{{{a_{11}}}}$的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 由等比數(shù)列{a_n}性質(zhì)可得：a₃a₁₁=${a}_{7}^{2}$=4．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由等比數(shù)列{a_n}性質(zhì)可得：a₃a₁₁=${a}_{7}^{2}$=4．
又a_n＞0，a₇=2，
則$\frac{1}{a_3}+\frac{2}{{{a_{11}}}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{a}_{3}}•\frac{2}{{a}_{11}}}$=$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a₁₁=2a₃=2$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{1}{a_3}+\frac{2}{{{a_{11}}}}$的最小值為$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．