Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin(π-ωx)-sin(

π

2

-ωx)(ω＞0)的圖象兩相鄰最高點的坐標分別為(

π

3

，2)，(

4

3

π，2)．
（1）求函數(shù)解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（A）=2，求

b-2c

a

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）解析式利用誘導公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)題意得出函數(shù)的周長，利用周期公式求出ω的值，即可確定出f（x）的解析式；
（2）由f（A）=2，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，所求式子利用正弦定理化簡，整理后得到最簡結(jié)果，根據(jù)B的范圍求出cosB的值域，即可確定出所求式子的范圍．

解答：解：（1）f（x）=

3

sinωx-cosωx=2sin（ωx-

π

6

），
∵周期T=

4π

3

-

π

3

=π=

2π

ω

，∴w=2，
則f（x）=2sin（2x-

π

6

）；
（2）∵f（A）=2sin（2A-

π

6

）=2，∴sin（2A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，
∴2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
由正弦定理得：

b-2c

a

=

sinB-2sinC

sinA

=

2

3

[sinB-2sin（

2π

3

-B）]=-2cosB，
∵0＜B＜

2π

3

，∴-

1

2

＜cosB＜1，
則-2＜

b-2c

a

＜1．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．