Question

16．已知一元二次函數(shù)f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），且滿足f（-4）=f（0）．
（I）求該二次函數(shù)的解析式及函數(shù)的零點(diǎn)．
（II）已知函數(shù)在（t-1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），求出c，利用對稱軸求出a，即可得到二次函數(shù)的解析式．然后求解零點(diǎn)．
（II）利用函數(shù)在（t-1，+∞）上為增函數(shù)，對稱軸，列出不等式求解即可．

解答 解：（I）因?yàn)槎�次函�?shù)為f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），
故c=1..…．①
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）滿足f（-4）=f（0）故：x=-$\frac{2}{2a}$=-2…..②..…（3分）
由①②得：a=$\frac{1}{2}$，c=1
故二次函數(shù)的解析式為：f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2x+1   …．（6分）
由f（x）=0，可得函數(shù)的零點(diǎn)為：-2$-\sqrt{2}$，-2+$\sqrt{2}$    …（8分）
（II）因?yàn)楹瘮?shù)在（t-1，+∞）上為增函數(shù)，
且函數(shù)圖象的對稱軸為x=-2，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：t-1≥-2，故t≥-1   …（12分）

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的零點(diǎn)以及二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．