Question

已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，證明：對任意，．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意要對參變量 的取值進(jìn)行分類討論；

（2）由（1）的結(jié)論知當(dāng)a≤－2時， f（x）在（0,+）單調(diào)遞減；設(shè)x1≥x2．等價于≥4x1－4x2,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=f（x）+4x在（0，+）的單調(diào)性問題解決．

試題解析：【解析】
（1） f（x）的定義域為（0,+），． 1分

當(dāng)a≥0時，＞0，故f（x）在（0,+）單調(diào)遞增； 3分

當(dāng)a≤－1時，＜0, 故f（x）在（0,+）單調(diào)遞減； 5分

當(dāng)－1＜a＜0時，令＝0,解得x=．當(dāng)x∈（0, ）時, ＞0；

x∈（，+）時，＜0, 故f（x）在（0, ）單調(diào)遞增，在（，+）單調(diào)遞減． 7分

（2）不妨假設(shè)x1≥x2．由于a≤－2,故f（x）在（0，+）單調(diào)遞減． 8分

所以等價于≥4x1－4x2,

即f（x2）+ 4x2≥f（x1）+ 4x1． 10分

令g（x）=f（x）+4x,則+4＝

于是≤＝≤0． 12分

從而g（x）在（0，+）單調(diào)遞減，故g（x1） ≤g（x2），

即　f（x1）+ 4x1≤f（x2）+ 4x2，故對任意x1,x2∈（0,+） ，． 14分

考點：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用