Question

14．已知命題p：y=log_a（2-ax）在[0，1]上是減函數(shù)；命題$q：y=lg（a{x^2}-x+\frac{a}{12}）$的值域是R，若命題“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q為真命題的等價條件，然后利用“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，確定實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵y=log_a（2-ax）在區(qū)間[0，1]上為減函數(shù)，∴a＞1．
又∵2-ax＞0在[0，1]上恒成立，
2-a＞0，即a＜2，
∴1＜a＜2．
$y=lg（a{x}^{2}-x+\frac{a}{12}）$的值域是R，
∴$a{x}^{2}-x+\frac{a}{12}$的值域為（0，+∞）；
①若a=0，-x的值域可以為（0，+∞）；
②若a≠0，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，
解得0＜a$≤\sqrt{3}$．
∴a的取值范圍是：0≤a$≤\sqrt{3}$．
由題意可知p真：1＜a＜2；q真：0≤a$≤\sqrt{3}$．
∵“p且q”是假命題，“p或q”是真命題
∴p、q一真一假．
當p真q假時$\sqrt{3}＜a＜2$，當p假q真時0≤a≤1．
綜上，a的取值范圍是$（{\sqrt{3}，2}）$∪[0，1]．

點評 本題主要考查復合命題的真假判斷以及應(yīng)用，是中檔題．