Question

11．拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點F，過點H（3，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于點A，B和點C，D，其中點A，C在x軸上方．
（Ⅰ）若點C的坐標為（2，2），求△ABC的面積；
（Ⅱ）若p=2，直線BC過點F，求直線CD的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）點C（2，2）在拋物線E上，可得4=4p，解得p，可得拋物線E的方程為y²=2x．由AB⊥CD，可得k_AB•k_CD=-1，解得k_AB，由直線AB過點H（3，0），可得直線AB方程為y=$\frac{1}{2}$（x-3），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與拋物線方程聯立化簡得y²-4y-6=0；可得|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，|CH|，S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•|CH|．
（Ⅱ）設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則$\overrightarrow{HB}$=（x₂-3，y₂），$\overrightarrow{HC}$=（x₃-3，y₃），利用AB⊥CD，可得$\overrightarrow{HB}$•$\overrightarrow{HC}$=x₂x₃-3（x₂+x₃）+9+y₂y₃=0．根據直線BC過焦點F（1，0），且直線BC不與x軸平行，設直線BC的方程為x=ty+1，聯立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=ty+1}\end{array}\right.$，得y²-4ty-4=0，利用根與系數的關系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵點C（2，2）在拋物線E上，∴4=4p，p=1，
∴拋物線E的方程為y²=2x，
∵k_CD=$\frac{2-0}{2-3}$=-2，且AB⊥CD，∴k_AB•k_CD=-1，
∴k_AB=$\frac{1}{2}$，
又∵直線AB過點H（3，0），∴直線AB方程為y=$\frac{1}{2}$（x-3），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=\frac{1}{2}（x-3）}\end{array}\right.$，化簡得y²-4y-6=0；所以△=40＞0，且y₁+y₂=4，y₁•y₂=-6，
此時|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=10$\sqrt{2}$，|CH|=$\sqrt{（2-3）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•|CH|=$\frac{1}{2}×10\sqrt{2}×\sqrt{5}$=5$\sqrt{10}$．
（Ⅱ）設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則$\overrightarrow{HB}$=（x₂-3，y₂），$\overrightarrow{HC}$=（x₃-3，y₃），
∵AB⊥CD，
∴$\overrightarrow{HB}$•$\overrightarrow{HC}$=（x₂-3）（x₃-3）+y₂y₃=x₂x₃-3（x₂+x₃）+9+y₂y₃=0，（1）
∵直線BC過焦點F（1，0），且直線BC不與x軸平行，
∴設直線BC的方程為x=ty+1，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=ty+1}\end{array}\right.$，得y²-4ty-4=0，△=16t²+16＞0，且y₂+y₃=4t，y₂•y₃=-4，（2）
∴x₂+x₃=ty₂+1+ty₃+1=t（y₂+y₃）+2=4t²+2，x₂•x₃=$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}•\frac{{y}_{3}^{2}}{4}$=$\frac{（{y}_{2}{y}_{3}）^{2}}{16}$=1．
代入（1）式得：1-3（4t²+2）+9-4=0，解得t=0，
代入（2）式解得：y₂=-2，y₃=2，此時x₂=x₃=1；∴C（1，2），
∴k_CD=$\frac{2-3}{1-0}$=-1，
∴直線CD的方程為y=-x+3．

點評 本小題考查直線與拋物線的位置關系等基礎知識；考查學生基本運算能力，推理論證能力，運算求解能力；考查學生函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于難題．