Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且關(guān)于x的方程x²-a_nx-a_n=0有一根為S_n-1．
（1）求出S₁，S₂，S₃；
（2）猜想{S_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)求出S₁=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{2}{3}$．S₃=$\frac{3}{4}$．
（2）由此猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，n=1，2，3，…．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，x²-a₁x-a₁=0有一根為S₁-1=a₁-1，
于是（a₁-1）²-a₁（a₁-1）-a₁=0，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)n=2時(shí)，x²-a₂x-a₂=0有一根為S₂-1=a₂-$\frac{1}{2}$，
于是（a₂-$\frac{1}{2}$）²-a₂（a₂-$\frac{1}{2}$）-a₂=0，
解得a₂=$\frac{1}{6}$
由題設(shè)（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0．①
得S₁=a₁=$\frac{1}{2}$，S₂=a₁+a₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$．
由①可得S₃=$\frac{3}{4}$．
（2）由（1）猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，n=1，2，3，…．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．
（i）n=1時(shí)已知結(jié)論成立．
（ii）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即S_k=$\frac{k}{k+1}$，
當(dāng)n=k+1時(shí)，由①得S_k+1=$\frac{1}{2-{S}_{k}}$，可得S_k+1=$\frac{k+1}{k+2}$，故n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
綜上，由（i）、（ii）可知S_n=$\frac{n}{n+1}$對(duì)所有正整數(shù)n都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．