Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n•a_n+1=（

1

2

）ⁿ，n∈N^*，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：取n=n+1 得另一遞推式，作比后可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以

1

2

為公比的等比數(shù)列，然后分段求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答： 解：∵a₁=3 a_n•a_n+1=（

1

2

）ⁿ，
取n=1得，a2=

1

6

．
由a_n•a_n+1=（

1

2

）ⁿ ①
得an+1•an+2=(

1

2

)n+1 ②
②÷①得：

an+2

an

=

1

2

．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以

1

6

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=3×(

1

2

)

n-1

2

；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=

1

6

×(

1

2

)

n

2

-1．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

3×( 1 2 ) n-1 2 ，n為奇數(shù) 1 6 ×( 1 2 ) n 2 -1，n為偶數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．