Question

求下列函數(shù)的最大值和最小值，以及使函數(shù)取得最大值、最小值的自變量x的值：
（1）y=（sinx-

3

2

）²-2；
（2）y=-sin²x+

3

sinx+

5

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）設(shè)t=sinx，-1≤t≤1，y=（t-

3

2

）²-2，利用二次函數(shù)求解．（2）y=-t²+

3

t+

5

4

，-1≤t≤1，利用二次函數(shù)求解．

解答： 解：（1）∵y=（sinx-

3

2

）²-2；
設(shè)t=sinx，-1≤t≤1，
∴y=（t-

3

2

）²-2，
∵t∈[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=1，x=2kπ+

π

2

，k∈z時(shí)，y=_min=-

7

4

，
當(dāng)t=-1，x=2kπ-

π

2

，k∈z時(shí)，y_max=

17

4

，
（2）∵設(shè)t=sinx，-1≤t≤1，
y=-sin²x+

3

sinx+

5

4

．
∴y=-t²+

3

t+

5

4

，-1≤t≤1，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得：
當(dāng)t=

3

2

時(shí)，x=2kπ+

π

3

，或x=2kπ+

2π

3

，k∈z，y_max=2，
當(dāng)t=-1，x=2kπ-

π

2

，k∈z時(shí)，y_min=

1

4

-

3

，

點(diǎn)評：本題考查了換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解問題，屬于中檔題．