Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

2x2

x+1

，g（x）=（a+2）x+5-3a．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域；
（2）若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求實數(shù)a的取值范圍．．

Answer 1

分析：（1）設(shè)0≤x₁≤x₂≤1，用定義證明f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域．
（2）記f（x），g（x）在區(qū)間[0，1]上的值域分別是A，B，由題意知A⊆B，根據(jù)實數(shù)a+2的取值進行分類討論，能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=

2x2

x+1

，
設(shè)0≤x₁≤x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x12

x1+1

-

2x22

x2+1

=

2(x1-x2)(x1x2+x1+x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=0，
f（x）_max=f（1）=1，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域為[0，1]．
（2）∵g（x）=（a+2）x+5-3a，
記f（x），g（x）在區(qū)間[0，1]上的值域分別是A，B，
由題意知A⊆B，
由（1）知，A=[0，1]，
當(dāng)a＞-2時，B=[g（0），g（1）]=[5-3a，7-2a]，
則

5-3a≥1 7-2a≤0

，解得

5

3

≤a≤3；
當(dāng)a=2時，B={11}，不合題意．
當(dāng)a＜-2時，B=[g（1），g（0）]=[7-2a，5-3a]，則

5-3a≥1 7-2a≤0

，無解．
綜上所述，a的取值范圍是[

5

3

，3]．

點評：本題考查函數(shù)的值域的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的應(yīng)用，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．