Question

（本小題滿(mǎn)分14分）某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商投資81萬(wàn)元建一座寫(xiě)字樓，第一年裝修費(fèi)為1萬(wàn)元，以后每年增加2萬(wàn)元，把寫(xiě)字樓出租，每年收入租金30萬(wàn)元．

（Ⅰ）若扣除投資和各種裝修費(fèi)，則從第幾年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)？

（Ⅱ）若干年后開(kāi)發(fā)商為了投資其他項(xiàng)目，有兩種處理方案：①年平均利潤(rùn)最大時(shí)以46萬(wàn)元出售該樓; ②純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以10萬(wàn)元出售該樓，問(wèn)哪種方案盈利更多？

Answer 1

（1）4（2）方案①

【解析】

試題分析：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。（1）利潤(rùn)=收入-投資，收入= ，每年裝修費(fèi)為一個(gè)以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列，所以 年裝修費(fèi)為，所以利潤(rùn)當(dāng)利潤(rùn)大于零時(shí)，即 開(kāi)始獲純利潤(rùn)。（2）年平均利潤(rùn)為，利用基本不等式可知，當(dāng) 時(shí)，取最大值 ，此種方案利潤(rùn)：；純利潤(rùn)，利用二次函數(shù)的最值，可知當(dāng) 時(shí) ，此種方案利潤(rùn)為 ，兩種方案獲利一樣多，而方案①時(shí)間比較短，所以選擇方案①

試題解析：（Ⅰ）設(shè)第 年獲取利潤(rùn)為 萬(wàn)元， 年共收入租金萬(wàn)元，付出裝修費(fèi)構(gòu)成一個(gè)以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列，共 2分

因此利潤(rùn)， 4分

令

解得： 6分

所以從第4年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)． 7分

（Ⅱ）年平均利潤(rùn) 9分

（當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)取等號(hào)）

所以 年后共獲利潤(rùn)：（萬(wàn)元） 11分

利潤(rùn)

所以 年后共獲利潤(rùn)：（萬(wàn)元） 13分

兩種方案獲利一樣多，而方案①時(shí)間比較短，所以選擇方案①

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)建模的能力，利用基本不等式求最值，二次函數(shù)的最值