Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）令函數(shù)，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，試判斷與3的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)先求導(dǎo)，然后討論的大小，繼而求出函數(shù)的單調(diào)性

(2)對(duì)函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合零點(diǎn)得到關(guān)于的表達(dá)式，構(gòu)造新函數(shù)后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定新函數(shù)的單調(diào)性，繼而得出關(guān)于零點(diǎn)問題

（1）,

①當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，

時(shí)，.

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）函數(shù)，

則，令

則，所以在上單調(diào)遞增，

當(dāng)且時(shí)，，時(shí)，

所以在上有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以為的最小值.

由已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則，

所以，

，

令，

，

所以，，，，

所以在單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，，

所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，

若在有零點(diǎn)必小于3，

綜上：.