【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，證明: （其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

【答案】（1）當(dāng)時， 的遞增區(qū)間為；

當(dāng)時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當(dāng)時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的取值范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

（2）問題轉(zhuǎn)化為，令 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

（1）由題意，函數(shù)的定義域為,

當(dāng)時，恒成立，故的遞增區(qū)間為；

當(dāng)時，在區(qū)間，時，時，

所以的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當(dāng)時，在區(qū)間，時，時，

所以的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

綜上所述，當(dāng)時， 的遞增區(qū)間為；

當(dāng)時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當(dāng)時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

（2）當(dāng)時，由,只需證明.

令 ，.

設(shè)，則.

當(dāng)時，，單調(diào)遞減;

當(dāng)時，，單調(diào)遞增,

∴當(dāng)時，取得唯一的極小值，也是最小值.

的最小值是 成立.

故成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司為了確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費用，需了解年宣傳費（單位：萬元）對年銷量（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響對近6年宣傳費和年銷量的數(shù)據(jù)做了初步統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：

年份

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年宣傳費（萬元）

38

48

58

68

78

88

年銷售量（噸）

16.8

18.8

20.7

22.4

24.0

25.5

經(jīng)電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費（萬元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關(guān)系式，兩邊取對數(shù)，即，令，即對上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關(guān)的值如下表：

75.3

24.6

18.3

101.4

（1）從表中所給出的6年年銷售量數(shù)據(jù)中任選2年做年銷售量的調(diào)研，求所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于21噸的概率．

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；

（3）若生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為200（萬元），且每生產(chǎn)1（噸）產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為20（萬元）（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本+年宣傳費），銷售收入為（萬元），假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），2019年該公司計劃投入108萬元宣傳費，你認(rèn)為該決策合理嗎？請說明理由．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分別是，，的中點.

（1）證明：平面；

（2）求點C到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】市某機構(gòu)為了調(diào)查該市市民對我國申辦年足球世界杯的態(tài)度，隨機選取了位市民進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下：

支持

不支持

合計

男性市民

女性市民

合計

（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；

（2）利用（1）完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問題：

（i）能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為支持申辦足球世界杯與性別有關(guān)；

（ii）已知在被調(diào)查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有位退休老人，其中位是教師，現(xiàn)從這位退休老人中隨機抽取人，求至多有位老師的概率.

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在 △ABC 中，設(shè) a，b，c 分別是角 A，B，C 的對邊，已知向量 = (a，sinC－sinB)，= (b + c，sinA + sinB)，且

(1) 求角 C 的大小

(2) 若 c = 3, 求 △ABC 的周長的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本c（x）=1200+ x3（萬元），已知產(chǎn)品單價P（萬元）與產(chǎn)品件數(shù)x滿足：p2= ，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元．

（1）設(shè)產(chǎn)量為x件時，總利潤為L（x）（萬元），求L（x）的解析式；

（2）產(chǎn)量x定為多少件時總利潤L（x）（萬元）最大？并求最大值（精確到1萬元）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解中學(xué)生對交通安全知識的掌握情況，從農(nóng)村中學(xué)和城鎮(zhèn)中學(xué)各選取100名同學(xué)進行交通安全知識競賽.下圖1和圖2分別是對農(nóng)村中學(xué)和城鎮(zhèn)中學(xué)參加競賽的學(xué)生成績按，，，分組，得到的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）分別估算參加這次知識競賽的農(nóng)村中學(xué)和城鎮(zhèn)中學(xué)的平均成績；

（Ⅱ）完成下面列聯(lián)表，并回答是否有的把握認(rèn)為“農(nóng)村中學(xué)和城鎮(zhèn)中學(xué)的學(xué)生對交通安全知識的掌握情況有顯著差異”？

成績小于60分人數(shù)

成績不小于60分人數(shù)

合計

農(nóng)村中學(xué)

城鎮(zhèn)中學(xué)

合計

附：

臨界值表：

0.10

0.05

0.010

2.706

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分別為A1C1和BC的中點．

（1）求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求證：C1F//平面ABE．

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同步練習(xí)冊答案