Question

已知Rt△ABC的斜邊AB的長為4，設P是以C為圓心1為半徑的圓上的任意一點，則

PA

•

PB

的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  3

  2

  ，

  5

  2

  ]
• B、[-

  5

  2

  ，

  5

  2

  ]
• C、[-3，5]
• D、[1-2

  3

  ，1+2

  3

  ]

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：換元法,平面向量及應用

分析：以CA為x軸，CB為y軸建立直角坐標系，設∠BAC=α，則A（4cosα，0），B（0，4sinα），P（cosθ，sinθ），再代入計算即可．

解答：解：以CA為x軸，CB為y軸建立直角坐標系，設∠BAC=α，
則A（4cosα，0），B（0，4sinα），P（cosθ，sinθ），
∴

PA

=(cosθ-4cosα，sinθ)，

PB

=(cosθ，sinθ-4sinα)，
∴

PA

•

PB

=cosθ（cosθ-4cosα）+sinθ（sinθ-4sinα）=1-4cos（θ-α）∈[-3，5]，
∴

PA

•

PB

）∈[-3，5]．
故選：C．

點評：本題的關鍵在于設出∠BAC=α，然后用三角代換表示各點的坐標，這樣使得問題容易表達并易于求解．