Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝3，a2，且2an+1＝3an﹣an-1.

（1）求證：數(shù)列{an+1﹣an}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；；（2）.

【解析】

（1）由2an+1＝3an﹣an-1得，又a2﹣a1，則數(shù)列{an+1﹣an}是等比數(shù)列，進(jìn)而求出其通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)（1）中求得的結(jié)果，先求出nan，再利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和Tn，然后求出k的取值范圍.

（1）證明：∵2an+1＝3an﹣an-1，∴，

又a2﹣a1，∴數(shù)列{an+1﹣an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.

∴，

即a2﹣a1，a3﹣a2，…，an﹣an-1（）.

等式兩邊同時(shí)相加得an-a1（），

則，

又n＝1也適合上式，

∴.

（2）∵①，

∴②，

由①﹣②得

∴，

又，即，

∴，

令 ，

由，

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴，

.