【題目】如圖①，在五邊形中，，，，，將沿折起到的位置，得到如圖②所示的四棱錐，為線段的中點(diǎn)，且平面.

（1）求證：平面.

（2）若直線與所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，，又為的中點(diǎn)，得到四邊形為平行四邊形，從而應(yīng)用線面平行的判定定理證得結(jié)果.

（2），可得為直線與所成的角，可得，，設(shè)，則，，取的中點(diǎn)O，連接PO，過O作AB的平行線，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)為平面PBD的法向量，則，利用，即可得出.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，.

又為的中點(diǎn)，所以，.

又，，所以，.

則四邊形為平行四邊形，所以.

因為平面，平面，

所以平面.

（2）解：因為平面，，

所以平面，所以，.

由，即及為的中點(diǎn)，可得為等邊三角形，所以.

又，所以，即.

因為平面，平面，，所以平面.

又平面，所以平面平面.

因為，所以即為直線與所成的角，

所以，所以.

設(shè)，則，.

取的中點(diǎn)，連接，過作交于點(diǎn)，則，，兩兩垂直.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則，，，，所以.

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，

則，

令，則.

因為.

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

某位同學(xué)進(jìn)行寒假社會實踐活動，為了對白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他分別記錄了1月11日至1月15日的白天平均氣溫（°C）與該奶茶店的這種飲料銷量（杯），得到如下數(shù)據(jù)：

日 期

1月11日

1月12日

1月13日

1月14日

1月15日

平均氣溫（°C）

9

10

12

11

8

銷量（杯）

23

25

30

26

21

（1）若從這五組數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出2組，求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；

（2）請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程．

（參考公式：．）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年10月28日，重慶公交車墜江事件震驚全國，也引發(fā)了廣大群眾的思考——如何做一個文明的乘客.全國各地大部分社區(qū)組織居民學(xué)習(xí)了文明乘車規(guī)范.社區(qū)委員會針對居民的學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行了相關(guān)的問卷調(diào)查，并將得到的分?jǐn)?shù)整理成如圖所示的統(tǒng)計圖.

（Ⅰ）求得分在上的頻率；

（Ⅱ）求社區(qū)居民問卷調(diào)查的平均得分的估計值；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表）

（Ⅲ）以頻率估計概率，若在全部參與學(xué)習(xí)的居民中隨機(jī)抽取5人參加問卷調(diào)查，記得分在間的人數(shù)為，求的分布列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如上圖所示，在正方體中， 分別是棱的中點(diǎn)， 的頂點(diǎn)在棱與棱上運(yùn)動，有以下四個命題：

A．平面 ； B．平面⊥平面；

C． 在底面上的射影圖形的面積為定值；

D． 在側(cè)面上的射影圖形是三角形．其中正確命題的序號是__________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列四個結(jié)論：

①命題“，”的否定是“，”；

②命題“若，則且”的否定是“若，則”；

③命題“若，則或”的否命題是“若，則或”；

④若“是假命題，是真命題”，則命題，一真一假.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過點(diǎn)P。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F交橢圓于A.B兩點(diǎn)，求弦AB的長。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游.

(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；

(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各選1個，求這兩個國家包括A1，但不包括B1的概率．

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【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且橢圓的短軸長為2，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在第一象限，且軸，連接交橢圓于點(diǎn)，直線的斜率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若三角形的面積等于四邊形的面積，求的值；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，射線（為原點(diǎn)）與橢圓交于點(diǎn)，滿足，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，某公園內(nèi)有兩條道路，，現(xiàn)計劃在上選擇一點(diǎn)，新建道路，并把所在的區(qū)域改造成綠化區(qū)域．已知， ．

（1）若綠化區(qū)域的面積為1，求道路的長度；

（2）若綠化區(qū)域改造成本為10萬元/，新建道路成本為10萬元/．設(shè)（），當(dāng)為何值時，該計劃所需總費(fèi)用最小？

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