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(1) |
解析:由f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3及f(1)=1, 令y=1,得f(x+1)-f(x)=3x2+9x+4. 當(dāng)t∈N*時(shí), f(t)= 。3+9+4(t-1)+1 。++4t-3 =t3+3t2-3. |
(2) |
令x=y(tǒng)=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0+3,∴f(0)=-3. 當(dāng)t∈Z-時(shí),-t∈N*,由f(t-t)=f(t)+f(-t)-6t2+3=-3 結(jié)合(1)得f(t)=-f(-t)+6t2-6=-[(-t)3+3(-t)2-3]+6t2-6=t2+3t2-3,∴f(t)=t33t2-3,t∈Z. 由f(t)=t得t3+3t2-3=t,即(t2-1)(t+3)=0,求得t1=1,t2=-1,t3=-3,滿足t1+t3=2t2.∵t1,t2,t3構(gòu)成等差數(shù)列:1,-1,-3或-3,-1,1. |
(3) |
當(dāng)t∈N*時(shí),f(t)=t3+3t2-3. 由f(t)≥mt2+(4m+1)t+3m恒成立,知t3+3t2-t-3≥m(t2+4t+3) 即(t-1)(t+1)(t+3)≥m(t+1)(t+3). ∵t≥4,∴(t+1)(t+3)>0,故t-1≥m恒成立,∴m≤3,從而m的最大值為3. 點(diǎn)評:本題以抽象函數(shù)為載體,利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)研究數(shù)列,在處理第(3)小題時(shí)將恒成立問題通過變量分離轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. |
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