Question

【題目】已知數列，滿足：．

（1）若，求數列的通項公式；

（2）若，且．

① 記，求證：數列為等差數列；

② 若數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次，求首項應滿足的條件．

Answer 1

【答案】（1）

（2）①根據等差數列的定義，證明相鄰兩項的差為定值來得到證明．從第二項起滿足題意即可．

②當，數列任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次

【解析】

試題解：（1）當時，有

．

又也滿足上式，所以數列的通項公式是． 4分

（2）①因為對任意的，有，所以，

，

所以，數列為等差數列． 8分

②設（其中為常數且，

所以，，

即數列均為以7為公差的等差數列． 10分

設．

（其中為中一個常數）

當時，對任意的，有； 12分

當時，．

（Ⅰ）若，則對任意的有，所以數列為遞減數列；

（Ⅱ）若，則對任意的有，所以數列為遞增數列．

綜上所述，集合．

當時，數列中必有某數重復出現無數次；

當時，數列均為單調數列，任意一個數在這6個數列中最多出現一次，所以數列任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次． 18分