Question

8．已知函數(shù)f（x）=x³+3x²-9x+m
（1）求函數(shù)f（x）=x³+3x²-9x+m的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值12，求函數(shù)f（x）在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，直接由導(dǎo)函數(shù)大于0求解不等式得答案；
（2）由（1）可得f（x）在（0，2）上的單調(diào)性，求得極值，再求出f（0）、f（2）比較得答案．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，得x＞1或x＜-3；
令f′（x）＜0，得-3＜x＜1．
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為：（-∞，-3），（1，+∞）；
（2）由（1）知，f′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1），
令f′（x）=0，得x=1或x=-3（舍）．
當(dāng)x在閉區(qū)間[0，2]變化時(shí)，f′（x），f（x）變化情況如下表

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		-	0	+
f（x）	m	單調(diào)遞減	m-5	單調(diào)遞增	2+m

∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取最大值f（x）_max=f（2）=m+2，由已知m+2=12，得m=10．
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最小值f（x）_min=f（1）=m-5=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．