Question

10．已知點M（1，2），N（3，2），點F是直線l：y=x-3上的一動點，當∠MFN最大時，過點M，N，F的圓的方程是（x-2）²+（y-1）²=2．

Answer 1

分析 根據題意，設圓心坐標為C（2，a），當∠MFN最大時，過點M，N，F的圓與直線y=x-2相切，由此可確定出圓的標準方程．

解答 解：根據題意，設圓心坐標為C（2，a），當∠MFN最大時，過點M，N，F的圓與直線y=x-2相切．
∴$\sqrt{（2-1）^{2}+（a-2）^{2}}$=$\frac{|2-a-3|}{\sqrt{2}}$，
∴a=1或9，
a=1時，r=$\sqrt{2}$，∠MCN=90°，∠MFN=45°，
a=9時，r=5$\sqrt{2}$，∠MCN＜90°，∠MFN＜45°，
則所求圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=2．
故答案為（x-2）²+（y-1）²=2．

點評 此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：兩點間的距離公式，直線與圓相切的性質，屬于中檔題