Question

某旅游景點(diǎn)經(jīng)營者欲增加欲增加景點(diǎn)服務(wù)設(shè)施以提高旅游增加量，經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在控制投入成本的前提下，旅游增加值y（萬元）與投入成本x（萬元）之間滿足：y=-ax²+

51

50

x-lnx+ln10（10≤x≤100），其中實(shí)數(shù)a為常數(shù)，且當(dāng)投入成本為10萬元時，旅游增加值為9.2萬元．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）當(dāng)投入成本為多少萬元時，旅游增加值y取得最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）代入x=10萬元時y=9.2萬元，可得9.2═-a10²+

51

50

10-ln10+ln10，從而求a；
（2）求導(dǎo)f′（x）=

x2-51x+50

50x

，判斷函數(shù)的單調(diào)性從而求其最大值．

解答： 解：（1）由于當(dāng)x=10萬元時y=9.2萬元，
因此，9.2═-a10²+

51

50

10-ln10+ln10，
解得a=

1

100

；
（2）從而f（x）=-

x2

100

+

51

50

x-lnx+ln10（10≤x≤100），
f′（x）=

x2-51x+50

50x

，
令f′（x）=0，可得 x=1，或 x=50．
當(dāng)x∈（1，50）時，f′（x）＞0，且f（x）在（1，50）上連續(xù)，因此f（x）在（1，50]上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（50，+∞））時，f′（x）＜0，且f（x）在（50，+∞）上連續(xù)，因此f（x）在（50，+∞）上是減函數(shù)．
則x=50時，函數(shù)f（x）取得極大值，
即投入50萬元改造時旅游取得最大增加值．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，同時考查了導(dǎo)數(shù)在求最值時的應(yīng)用，屬于中檔題．