已知橢圓兩焦點坐標分別為,，且經(jīng)過點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）已知點，直線與橢圓交于兩點．若△是以為直角頂點的等腰直角三角形，試求直線的方程．

（Ⅰ）（Ⅱ）或或.

解析試題分析：（Ⅰ）由橢圓的定義可求得和，再根據(jù)，可求得。即可求出橢圓方程。（Ⅱ）由點斜式設出直線方程，然后聯(lián)立，消掉（或）得到關于的一元二次方程。因為有兩個交點所以判別式大于0，再根據(jù)韋達定理得出根與系數(shù)的關系。根據(jù)題意可知且。用這兩個條件可列出兩個方程。如用直線垂直來解需討論斜率存在與否，為了省去討論可轉化為向量垂直問題用數(shù)量積公式求解， 注意討論根的取舍。
試題解析：解：（Ⅰ）設橢圓標準方程為．依題意
，所以．
又，所以．
于是橢圓的標準方程為．                       5分
（Ⅱ）依題意，顯然直線斜率存在.設直線的方程為，則
由得．
因為,得．        ①
設，線段中點為，則
于是．
因為，線段中點為，所以．
（1）當，即且時，
，整理得．           ②
因為，，
所以
，
整理得，解得或．
當時，由②不合題意舍去.
由①②知，時，．
（2）當時，
（ⅰ）若時，直線的方程為，代入橢圓方程中得.
設，,依題意，若△為等腰直角三角形，則
.即，解得或.不合題意舍去，
即此時直線的方程為.
（ⅱ）若且時，即直線過原點.依橢圓的對稱性有,則依題意不能有,即此時不滿足△為等腰直角三角形.
綜上，直線的方程為或或

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓的方程為 ，斜率為1的直線不經(jīng)過原點，而且與橢圓相交于兩點，為線段的中點.
（1）問：直線與能否垂直？若能，之間滿足什么關系；若不能，說明理由；
（2）已知為的中點，且點在橢圓上.若，求橢圓的離心率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的右頂點為A（2，0），點P（2e，）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．

（1）求橢圓的方程；
（2）若點B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足，且，求實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知過點的橢圓：的右焦點為，過焦點且與軸不重合的直線與橢圓交于，兩點，點關于坐標原點的對稱點為，直線，分別交橢圓的右準線于，兩點.

（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點的坐標為，試求直線的方程；
（3）記，兩點的縱坐標分別為，，試問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知是橢圓的右焦點；圓與軸交于兩點，其中是橢圓的左焦點.

（1）求橢圓的離心率；
（2）設圓與軸的正半軸的交點為，點是點關于軸的對稱點，試判斷直線與圓的位置關系；
（3）設直線與圓交于另一點，若的面積為，求橢圓的標準方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點到拋物線準線的距離為．

（1）求拋物線的方程；
（2）當的角平分線垂直軸時，求直線的斜率；
（3）若直線在軸上的截距為，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為的正方形（記為）
（Ⅰ）求橢圓的方程
（Ⅱ）設點是直線與軸的交點，過點的直線與橢圓相交于兩點，當線段的中點落在正方形內(nèi)（包括邊界）時，求直線斜率的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點分別為，橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若線段是橢圓過點的弦，且，求內(nèi)切圓面積最大時實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，其左焦點到點的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點、，則內(nèi)切圓的圓面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

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