將一幅斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形,其中AD=BD=
2
,∠BAC=30°,若它們的斜邊AB重合,讓三角板ABD以AB為軸轉(zhuǎn)動,則下列說法正確的是
①③
①③

①當(dāng)平面ABD⊥平面ABC時,C、D兩點間的距離為
2

②在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中,總有AB⊥CD;
③在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中,三棱錐D-ABC體積的最大值為
3
6
分析:①結(jié)合圖象,利用面面垂直的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半求解;
②用反證法,假設(shè)垂直,根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)推到是否可能,從而得出結(jié)論;
③根據(jù)棱錐的體積公式,在底面積不變的情況下,體積的大小取決于高,當(dāng)平面ABD⊥平面ABC時,高最大,求出即可.
解答:解:①取AB中點O,連接DO、CO,
∵AD=BD=
2
,∴DO=1,AB=2,OC=1
∵平面ABD⊥平面ABC,DO⊥AB,∴DO⊥平面ABC,DO⊥OC,
∴DC=
2
,①正確;
②若AB⊥CD,則AB⊥平面CDO,AB⊥OC,∵O為中點,∴AC=BC,∠BAC=45°與∠BAC=30°矛盾,∴②錯誤;
③當(dāng)DO⊥平面ABC時,棱錐的高最大,此時V棱錐=
1
3
×
1
2
×AC×BC×DO=
1
6
×
3
×1×1=
3
6
.③正確.
故答案是①③
點評:本題考查面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)及棱錐的體積公式.V棱錐=
1
3
Sh.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一 起,若
AD
=x
AB
+y
AC
,則x+y=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆福建省高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

將一幅斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形,其中AD=BD=,∠BAC=30°,若它們的斜邊AB重合,讓三角板ABD以AB為軸轉(zhuǎn)動,則下列說法正確的是         .

①當(dāng)平面ABD⊥平面ABC時,C、D兩點間的距離為

②在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中,總有AB⊥CD;

③在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中,三棱錐D-ABC體積的最大值為.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

將一幅斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形,其中AD=BD=數(shù)學(xué)公式,∠BAC=30°,若它們的斜邊AB重合,讓三角板ABD以AB為軸轉(zhuǎn)動,則下列說法正確的是________.
①當(dāng)平面ABD⊥平面ABC時,C、D兩點間的距離為數(shù)學(xué)公式;
②在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中,總有AB⊥CD;
③在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中,三棱錐D-ABC體積的最大值為數(shù)學(xué)公式

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年福建省福州市文博中學(xué)高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

將一幅斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形,其中AD=BD=,∠BAC=30°,若它們的斜邊AB重合,讓三角板ABD以AB為軸轉(zhuǎn)動,則下列說法正確的是   
①當(dāng)平面ABD⊥平面ABC時,C、D兩點間的距離為;
②在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中,總有AB⊥CD;
③在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中,三棱錐D-ABC體積的最大值為

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