Question

9．在橢圓4x²+y²=4上任取一點P，設(shè)P在x軸上的正投影為點D，當點P在橢圓上運動時，動點MM滿足$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{MD}$，則動點M的軌跡是（　�。�

• A． 焦點在x軸上的橢圓
• B． 焦點在y軸上的橢圓
• C． 圓
• D． 無法確定

Answer 1

分析 由題意可知：P（x₀，y₀），D（x₀，0），M（x，y），則$\overrightarrow{PD}$=（0，-y₀），$\overrightarrow{MD}$=（x-x₀，-y），由$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{MD}$，即（0，-y₀）=2（x-x₀，-y），因此$\left\{\begin{array}{l}{0=2（x-{x}_{0}）}\\{-{y}_{0}=-2y}\end{array}\right.$，整理可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，代入橢圓${x}_{0}^{2}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4}=1$，即可求得動點M的軌跡方程x²+y²=1，因此動點M的軌跡是圓．

解答 解：由橢圓${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，可知焦點在y軸上，
設(shè)P（x₀，y₀），D（x₀，0），M（x，y），
由題意可知：$\overrightarrow{PD}$=（0，-y₀），$\overrightarrow{MD}$=（x-x₀，-y），
由$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{MD}$，即（0，-y₀）=2（x-x₀，-y），
則$\left\{\begin{array}{l}{0=2（x-{x}_{0}）}\\{-{y}_{0}=-2y}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，
由P（x₀，y₀）在${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上，則${x}_{0}^{2}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4}=1$，
∴x²+y²=1，
動點M的軌跡是圓，
故選：C．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，屬于中檔題．