Question

如圖，某小區(qū)準備綠化一塊直徑為AB的半圓形空地，點C在半圓弧上，半圓內(nèi)△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS內(nèi)部為一水池，其余地方種花，若AB=2a，∠CAB=θ，設△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的邊長為x，面積為S₂，將比值

S1

S2

稱為“規(guī)劃合理度”．
（1）求證：x=

2asin2θ

2+sin2θ

．
（2）當a為定值，θ變化是，求“規(guī)劃合理度”的最小值及此時角θ的大�。�

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，AB=2a，∠CAB=θ所以AC=2acosθ，BC=2asinθ，再用正方形PQRS的邊長為x表示AC=

x

sinθ

+xcosθ，建立2acosθ=

x

sinθ

+xcosθ求解．
（2）由（1）x=

2asin2θ

2+sin2θ

可得s2=

4a2(sin2θ)2

(2+sin2θ)2

建議“規(guī)劃合理度”模型

s1

s2

 =

(2+sin2θ)2

2sin2θ

，θ∈(0，

π

2

)，再用基本不等式求解．

解答：解：（1）在△ABC中，AB=2a，∠CAB=θ
所以AC=2acosθ，BC=2asinθ
因為正方形PQRS的邊長為x
所以AC=

x

sinθ

+xcosθ，2acosθ=

x

sinθ

+xcosθ，
∴x=

2asin2θ

2+sin2θ

（2）因為△ABC中，AC=2acosθ，BC=2asinθ
所以s1=4a2sinθcosθ=2a2sin2θ
因x=

2asin2θ

2+sin2θ

所以s2=

4a2(sin2θ)2

(2+sin2θ)2

因此“規(guī)劃合理度”

s1

s2

 =

(2+sin2θ)2

2sin2θ

，θ∈(0，

π

2

)

s1

s2

=

(2+sin2θ)2

2sin2θ

=

1

2

(

4

sin2θ

+sin2θ+4)≥

9

2

當且僅當sin2θ=1即θ=

π

4

時取得最小值

9

2

點評：本題主要考查平面圖形中各邊角的量的關系的轉(zhuǎn)化及建立三角模型用基本不等式法或?qū)��?shù)求其最值的問題．