Question

選做題：請考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按所做的第一題評閱計分．
（1）（幾何證明選講選做題） PA與圓O切于A點，PCB為圓O的割線，且不過圓心O，已知∠BPA=30°，PA=2

3

，PC=1，則圓O的半徑等于

7

．
（2）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 在極坐標(biāo)系中，過點（2

2

，  

π

4

）作圓ρ=4sinθ的切線，則切線的極坐標(biāo)方程是

ρcosθ=2

．

Answer 1

分析：（1）過O作OE⊥BC于E，連接OA，交AB于F．由切割線定理，得PA²=PC•PB，求得PB=12，再結(jié)合垂直于弦的直徑，得到BE=

1

2

BC=5.5，然后在Rt△PAF中，算出AF=PAtan30°=2，PF=2AF=4，最后在Rt△OEF中算出OF=5，即可得到圓O的半徑為7；
（2）將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)，得到已知點恰好在已知圓上，利用切線垂直于過切點的半徑，可得到切線的直角坐標(biāo)方程，最后將此方程化成極坐標(biāo)方程即可．

解答：解：（1）過O作OE⊥BC于E，連接OA，交AB于F
∵PA與圓O切于A點，
∴PA²=PC•PB，即（2

3

）²=1•PB，得PB=12
∴AB=PB-PC=11，可得BE=

1

2

BC=5.5
∵PA與圓O切于A點，
∴OA⊥PA，得Rt△PAF中，AF=PAtan30°=2，PF=2AF=4
∵Rt△OEF中，∠OFE=∠PFA=90°-30°=60°，EF=PB-BE-PF=2.5
∴OF=

EF

cos60°

=5，可得圓O的半徑為R=OF+AF=7
（2）點A（2

2

，  

π

4

）化成直角坐標(biāo)為A（2，2），而圓C：ρ=4sinθ的直角坐標(biāo)方程是x²+y²-4y=0
∵2²+2²-4×2=0
∴點A（2，2）適合圓C方程，得點A是圓C上的點
∵圓C的圓心為（0，2），得AC的斜率k=

2-2

2-0

=0，
∴過A與AC垂直的直線為x=2，即為過A點與圓C相切的直線
因此切線的極坐標(biāo)方程是ρcosθ=2
故答案為：7    ρcosθ=2

點評：本題給出圓的切線長和割線長求圓的半徑，并且在已知直線與圓的極坐標(biāo)的情況下求切線的方程，著重考查了與圓有關(guān)系的比例線段和簡單曲線的極坐標(biāo)方程等知識，屬于中檔題．