如果函數(shù)f(x)的定義域為R,對于任意實數(shù)a,b滿足f(a+b)=f(a)·f(b)

(1)設(shè)f(1)=k,(k≠0),試求f(n)(n∈N*);

(2)設(shè)當(dāng)x<0時,f(x)>1,試解不等式f(x+5)>.

解:(1)∵f(n+1)=f(n)·f(1),∴=f(1)=k≠0 x∈R,f(x)=f(+)

=f2()≥0.

∴{f(n)}是以k為首項,k為公比的等比數(shù)列,

∴f(n)=f(1)·[f(1)]n-1=kn(k∈N*)

(2)對于任意的x∈R,f(x)=f(+)=f2()≥0.

假定存在x0∈R,使f(x0)=0,則可取x<0則f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)·f(x0)=0.這與已知矛盾,則f(x0)≠0,于是,對于任意x∈R必有f(x)>0,

∵f(0)=f(0+0)=f2(0)≠0,∴f(0)=1.

設(shè)x1<x2,則x1-x2<0,則f(x1-x2)>1,

又∵(fx2)>0,∴f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)·f(x2)>f(x2),

∴f(x)為R上的減函數(shù).

對f(x+5)>,∵f(x)>0,∴原不等式等價于f(x+5)·f(x)>1,

即f(2x+5)>f(0),又∵f(x)為R上的減函數(shù),

∴2x+5<0,解得x<-.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a

(I)如果對任意x∈[1,2],f′(x)>a2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(II)設(shè)函數(shù)f(x)的兩個極值點分別為x1,x2判斷下列三個代數(shù)式:①x1+x2+a,②
x
2
1
+
x
2
2
+a2
,③
x
3
1
+
x
3
2
+a3

中有幾個為定值?并且是定值請求出;若不是定值,請把不是定值的表示為函數(shù)g(a),并求出g(a)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某廠生產(chǎn)某種零件,每個零件的成本為40元,出廠單價定為60元,該廠為鼓勵銷售商訂購,決定當(dāng)一次訂購量超過100個時,每多訂購一個,訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元,但實際出廠單價不能低于51元.?

(1)當(dāng)一次訂購量為多少個時,零件的實際出廠單價恰降為51元?

(2)設(shè)一次訂購量為x個,零件的實際出廠單價為P元,寫出函數(shù)P=f(x)的表達式.

(3)當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時,該廠獲得的利潤是多少元?如果訂購1 000個,利潤又是多少元?(工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價-成本)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年湖南省高三上學(xué)期第三次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

某廠生產(chǎn)某種零件,每個零件的成本為40元,出廠單價定為60元,該廠為鼓勵銷售高訂購,決定當(dāng)一次訂量超過100個時,每多訂購一個,訂購的全部零件的出廠單價降低0.02元,但實際出廠單價不能低于51元.

(1)當(dāng)一次訂購量為多少個時,零件的實際出廠單價恰好降為51元?

(2)設(shè)一次訂購量為x個,零件的實際出廠單價為P元,寫出函數(shù)P=f(x)的表達式.

(3)當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時,該廠獲得的利潤是多少元?如果訂購1 000個,利潤又是多少元(工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價-成本價)?

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:新課標高三數(shù)學(xué)函數(shù)專項訓(xùn)練(河北) 題型:解答題

某工廠生產(chǎn)某種零件,每個零件的成本為40元,出廠單價定為60元,該廠為鼓勵銷售商訂購,決定當(dāng)一次訂購量超過100個時,每多訂購一個,訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元,但實際出廠單價不能低于51元.

(1)當(dāng)一次訂購量為多少時,零件的實際出廠單價恰為51元;

(2)設(shè)一次訂購量為x個,零件的實際出廠單價為P元,寫出函數(shù)P=f(x)的表達式;

(3)當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時,該廠獲得的利潤是多少?如果訂購1 000個,利潤又是多少?(工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價-成本

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a

(I)如果對任意x∈[1,2],f′(x)>a2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(II)設(shè)函數(shù)f(x)的兩個極值點分別為x1,x2判斷下列三個代數(shù)式:①x1+x2+a,②
x21
+
x22
+a2
,③
x31
+
x32
+a3

中有幾個為定值?并且是定值請求出;若不是定值,請把不是定值的表示為函數(shù)g(a),并求出g(a)的最小值.

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