Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，若對(duì)于定義域內(nèi)的任意x1 ， 總存在x2使得f（x2）＜f（x1），則滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】a≥0
【解析】解：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x1 總存在x2使得f（x2）＜f（x1），即為f（x）在x≠﹣a處無(wú)最小值；
①a=0時(shí)，f（x）= 無(wú)最小值顯然成立；
②a＞0時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x）= ，可得f（x）在（﹣∞，﹣a）上遞減，在（﹣a，3a）上遞增，在（3a，+∞）遞減，
即有f（x）在x=3a處取得極大值；
當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）＞0；x＜a時(shí)，f（x）＜0．取x1＜a，x2≠﹣a即可；
當(dāng)x＜﹣a時(shí)，f（x）在（﹣∞，﹣a）遞減，且x1＜ ＜﹣a，
f（x1）＞f（＜ ），故存在x2=x1+ |x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）；
同理當(dāng)﹣a＜x1＜a時(shí)，令x2=x1﹣ |x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）也符合；
則有當(dāng)a＞0時(shí)，f（x2）＜f（x1）成立；
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（﹣∞，3a）上遞減，在（3a，a）上遞增，在（﹣a，+∞）上遞減，即有f（x）在x=3a處取得極小值，
當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）＞0； x＜a時(shí)，f（x）＜0．
f（x）min=f（3a），當(dāng)x1=3a時(shí)，不存在x2 ， 使得f（x2）＜f（x1）成立．
綜上可得，a的取值范圍是：[0，+∞）
所以答案是：a≥0．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集即可以解答此題．