Question

【題目】已知，點(diǎn)滿(mǎn)足，記點(diǎn)的軌跡為.斜率為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與軌跡相交于兩點(diǎn).

（1）求軌跡的方程；

（2）求斜率的取值范圍；

（3）在軸上是否存在定點(diǎn)，使得無(wú)論直線(xiàn)繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，總有成立？如果存在，求出定點(diǎn)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義即可求得方程；

（2）聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程，轉(zhuǎn)化成方程有解問(wèn)題；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)整理成二次方程，根據(jù)結(jié)合韋達(dá)定理求解.

（1）因?yàn)?/span>，點(diǎn)滿(mǎn)足，

所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線(xiàn)的右支，

設(shè)其方程，則，

所以軌跡的方程：；

（2）斜率為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)方程為，代入，

，即有兩個(gè)不等正根，

，

由得，當(dāng)時(shí)，

且

即不等式組的解：

所以；

（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)，使，

由（2）：斜率為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)方程為，代入，

，即有兩個(gè)不等正根，

，

，所以，

，對(duì)恒成立，

所以，解得，即，

當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程，此時(shí)，

，仍然滿(mǎn)足，

所以這樣的點(diǎn)存在，.