Question

9．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（Ⅰ）若$\frac{f（0）}{|a|}$≥1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）的最小值；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞），請(qǐng)直接寫(xiě)出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若$\frac{f（0）}{|a|}$≥1，則$\frac{-a\left|a\right|}{|a|}$≥1，解得a的取值范圍；
（Ⅱ）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論，可得f（x）的最小值；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞），即3x²-2ax+a²-1≥0，分類可得不同情況下不等式h（x）≥1的解集．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{f（0）}{|a|}$≥1，
∴$\frac{-a\left|a\right|}{|a|}$≥1，
即-a≥1，
∴a≤-1；…3分
（Ⅱ）（1）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=3x²-2ax+a²，函數(shù)的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=$\frac{a}{3}$為對(duì)稱軸，
此時(shí)，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}f（a），a≥0\\ f（\frac{a}{3}），a＜0\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}2{a}^{2}，a≥0\\ \frac{2{a}^{2}}{3}，a＜0\end{array}\right.$，…5分
（2）當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=x²+2ax-a²，函數(shù)的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=-a為對(duì)稱軸，
此時(shí)，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}f（-a），a≥0\\ f（a），a＜0\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}-2{a}^{2}，a≥0\\ 2{a}^{2}，a＜0\end{array}\right.$，…6分
綜上，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}-2{a}^{2}，a≥0\\ \frac{2{a}^{2}}{3}，a＜0\end{array}\right.$；…7分
（Ⅲ）當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，
由h（x）≥1得：3x²-2ax+a²-1≥0，
∵△=4a²-12（a²-1）=12-8a²，
（1）當(dāng)△≤0，即a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或a≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，x∈（a，+∞）；
（2）當(dāng)△＞0，即-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，得$\left\{\begin{array}{l}（x-\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}）（x-\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}）≥0\\ x＞a\end{array}\right.$，
綜上：當(dāng)a∈（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時(shí)，解集為：$（a，\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}]∪[\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}，+∞）$，
當(dāng)a∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]時(shí)，解集為：$[\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}，+∞）$，
當(dāng)a∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）時(shí)，解集為：（a，+∞）．…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值及其幾何意義，難度中檔．