如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn)，是AC的中點(diǎn)，已知，.

（1）求證：OD//平面VBC；
（2）求證：AC⊥平面VOD；
（3）求棱錐的體積.

(1)證明過程詳見解析;(2)證明過程詳見解析;(3)

解析試題分析：
(1)要證明面VBC,只需要在面內(nèi)找到一條線段與平行即可,根據(jù)題目條件分析可得平行于面VBC內(nèi)的線段BC,在三角形ABC中根據(jù)D,O是線段AC,AB的中點(diǎn),即可得到OD為三角形BC邊的中位線,即可得到,進(jìn)而通過線線平行得到線面平行.
(2)要證明面VOD, ,根據(jù)AB為圓的直徑可得,再根據(jù)第二問OD為三角形ABC的中位線,即可得到,因?yàn)槿切蜼CA為等腰三角形且D為AC中點(diǎn),利用等腰三角形的三線合一即可得到VD垂直于AC,綜上在面VOD內(nèi)找到兩條相交的線段與AC垂直,根據(jù)線面垂直的判定即可得到AC垂直于面VOD.
(3)要求三棱錐的體積,可以以三角形為底面,此時(shí)根據(jù)AC垂直于面VOD可以得到VO垂直于AC,又根據(jù)等腰三角形VAB的三線合一可以得到VO垂直于AB,則VO垂直于ABC面內(nèi)相交的兩條線段,故有VO垂直于面ABC,則三棱錐的高為VO,因?yàn)榈酌嫒切蜛BC為等腰直角三角形,故,其中AC,BC可以利用三角形的勾股定理求的.而高VO的長可以利用直角三角形VOB的勾股定理求的,再利用三棱錐的體積公式即可求的相應(yīng)的體積.
試題解析：
證明：（1）∵ O、D分別是AB和AC的中點(diǎn)，∴OD//BC.              （1分）
又面VBC，面VBC，∴OD//平面VBC.                   （3分）
（2）∵VA=VB，O為AB中點(diǎn)，∴.                          （4分）
連接，在和中，,
∴≌DVOC，∴=ÐVOC=90°，∴.            （5分）
∵,平面ABC,平面ABC, ∴VO⊥平面ABC. （6分）
∵平面ABC，∴.                                    （7分）
又∵，是的中點(diǎn)，∴.                       （8分）
∵VOÌ平面VOD，VDÌ平面VOD，，∴ AC平面DOV.   （9分）
（3）由（2）知是棱錐的高，且.  （10分）
又∵點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，∴，且，
∴三角形的面積，              （11分）
∴棱錐的體積為，  （12分）
故棱錐的體積為.                                  （13分）
考點(diǎn)：三棱錐體積 線面平行 線面垂直 中位線 三線合一

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，已知，為線段的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，、分別是線段、的中點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）判斷并說明上是否存在點(diǎn)，使得∥平面；

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如圖，是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線 分別為的中點(diǎn)。

（1）記平面與平面的交線為，試判斷與平面的位置關(guān)系，并加以說明；
（2）設(shè)（1）中的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)滿足，記直線
平面所成的角為異面直線與所成的銳角為，二面角的大小為
①求證：
②當(dāng)點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，，求直線與平面所成的角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.

(1)求證:AF∥平面BDE;
(2)求證:CF⊥平面BDE.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).

(1)求證:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐PABCD中，M、N分別是側(cè)棱PA和底面BC邊的中點(diǎn)，O是底面平行四邊形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)．求證：過O、M、N三點(diǎn)的平面與側(cè)面PCD平行．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在正三棱柱ABCDEF中，AB＝2，AD＝1.P是CF的延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)P＝t.過A、B、P三點(diǎn)的平面交FD于M，交FE于N.

(1)求證：MN∥平面CDE；
(2)當(dāng)平面PAB⊥平面CDE時(shí)，求t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面CB1D1；
（2）求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

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