Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_n}+{a_{n-1}}={（{-1}）^{\frac{{n（{n+1}）}}{2}}}n，{S_n}$是其前n項(xiàng)和，若S₂₀₁₇=-1007-b，且a₁b＞0，則$\frac{1}{a_1}+\frac{2}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知得：a₃+a₂=3，a₅+a₄=-5，…a₂₀₁₇+a₂₀₁₆=-2017，把以上各式相加得：S₂₀₁₇-a₁=-1008，可得a₁+b=1，又a₁b＞0，a₁，b＞0．再利用“乘1法”與基本不等式性質(zhì)即可得出．

解答 解：由已知得：a₃+a₂=3，a₅+a₄=-5，…a₂₀₁₇+a₂₀₁₆=-2017，
把以上各式相加得：S₂₀₁₇-a₁=-1008，
即：a₁-1008=-1007-b，
∴a₁+b=1，又a₁b＞0，
∴a₁，b＞0．
則$\frac{1}{a_1}+\frac{2}$=（a₁+b）$（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{2}）$=3+$\frac{{a}_{1}}$+$\frac{2{a}_{1}}$≥3+$2\sqrt{\frac{{a}_{1}}•\frac{2{a}_{1}}}$=3+2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=$\sqrt{2}$a₁=2-$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
故答案為：$3+2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“累加求和”、“乘1法”與基本不等式性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與就計(jì)算能力，屬于中檔題．