Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=（alnx+$\frac{x}）$e^x，曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程為y=e（x-1）+2．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=xe^-x-$\frac{2}{e}（{x＞0}）$，求g（x）的最大值；
（Ⅲ）證明函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1沒有公共點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用已知條件列出方程，即可求a，b；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=xe^-x-$\frac{2}{e}（{x＞0}）$，求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最大值；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1沒有公共點等價于f（x）＞1．設(shè)函數(shù)h（x）=xlnx，求出h'（x）=lnx+1．判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，然后推出結(jié)果．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），$f'（x）={（{alnx+\frac{x}}）^′}{e^x}+（{alnx+\frac{x}}）{（{e^x}）^′}=（{\frac{a}{x}-\frac{x^2}+alnx+\frac{x}}）{e^x}$．
由題意可得f（1）=2，f'（1）=e.$故a=1，b=\frac{2}{e}$．
（Ⅱ）$g（x）=x{e^{-x}}-\frac{2}{e}，則g'（x）={e^{-x}}（1-x）$．
所以當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0．故g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，
在（1，+∞）單調(diào)遞減，
從而g（x）在（0，∞）的最大值為g（1）=-$\frac{1}{e}$．
（Ⅲ）$由（I）知f（x）={e^x}lnx+\frac{2}{x}{e^{x-1}}$，又f（1）=eln1+2e⁰=2＞1，
于是函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1沒有公共點等價于f（x）＞1．
$而f（x）＞1等價于xlnx＞x{e^{-x}}-\frac{2}{e}$．
設(shè)函數(shù)h（x）=xlnx，則h'（x）=lnx+1.$所以當(dāng)x∈（0，\frac{1}{e}）時，h'（x）＜0；當(dāng)x∈（\frac{1}{e}，+∞）時，h'（x）＞0$．
故h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）單調(diào)遞增，從而h（x）在（0，+∞）的最小值為h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$．
由（Ⅱ）知綜上，當(dāng)x＞0時，h（x）＞g（x），即f（x）＞1．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．