精英家教網(wǎng)
如圖,四邊形OABC為矩形,點A、C的坐標分別為(a+1,0)(a>1)、(0,1),點D在OA上,坐標為(a,0),橢圓C分別以O(shè)D、OC為長、短半軸,CD是橢圓在矩形內(nèi)部的橢圓。阎本l:y=-x+m與橢圓弧相切,且與AD相交于點E.
(Ⅰ)當(dāng)m=2時,求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)圓M在矩形內(nèi)部,且與l和線段EA都相切,若直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分,求圓M面積的最大值.
分析:(1)設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+y2=1
.由
x2
a2
+y2=1
y=-x+m 
得(1+a2)x2-2a2mx+a2(m2-1)=0.由于直線l與橢圓相切,知△=(2a2m)2-4(1+a2)a2(m2-1)=0,由此能求出橢圓C的標準方程.
(2)由題意知A(a+1,0),B(a+1,1),C(0,1),于是OB的中點為(
a+1
2
,  
1
2
)
.因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分,所以l過點(
a+1
2
,  
1
2
)
,由此入手,能夠求出圓M面積的最大值.
解答:解:(1)設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+y2=1
.k•s5•u
x2
a2
+y2=1
y=-x+m 
消去y得(1+a2)x2-2a2mx+a2(m2-1)=0.(3分)
由于直線l與橢圓相切,∴△=(2a2m)2-4(1+a2)a2(m2-1)=0,
化簡得m2-a2=1,①
當(dāng)m=2時,a2=3,
則橢圓C的標準方程為
x2
3
+y2=1
.(6分)
(2)由題意知A(a+1,0),B(a+1,1),C(0,1),于是OB的中點為(
a+1
2
,  
1
2
)

因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分,所以l過點(
a+1
2
,  
1
2
)
,
1
2
=
-(a+1)
2
+m
,亦即2m-a=2.②
由①②解得a=
4
3
,  m=
5
3
,故直線l的方程為y=-x+
5
3
.(9分)
E(
5
3
,  0),  A(
7
3
,  0)

因為圓M與線段EA相切,所以可設(shè)其方程為(x-x02+(y-r)2=r2(r>0).
因為圓M在矩形及其內(nèi)部,所以
0<r≤
1
2
x0
5
3
 
x0+r≤
7
3

圓M與l相切,且圓M在l上方,所以
3(x0+r)-5
3
2
=r
,即3(x0+r)=5+3
2
r

代入④得
0<r≤
1
2
5+3(
2
-1)r
3
5
3
      
5+3
2
r
3
7
3
,             
0<r≤
2
3

所以圓M面積最大時,r=
2
3
,這時,圓M面積的最大值為
9
.(15分)
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四邊形OABC是邊長為1的正方形,OD=3,點P為△BCD內(nèi)(含邊界)的動點,設(shè)
OP
OC
OD
(α,β∈R),則α+β的最大值等于
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形OABC是面積為4的正方形,函數(shù)y=
k
x
(x>0)的圖象經(jīng)過點B.
(1)求k的值;
(2)將正方形OABC分別沿直線AB、BC翻折,得到正方形MABC′、NA′BC.設(shè)線段MC′、NA′分別與函數(shù)y=
k
x
(x>0)的圖象交于點E、F,求線段EF所在直線的解析式.
(3)計算△EOF的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•文昌模擬)如圖,四邊形OABC是邊長為1的正方形,OD=3,點P為△BCD內(nèi)(含邊界)的動點,設(shè)
OP
OC
OD
(α,β∈R),則α+β的最大值等于 ( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四邊形OABC是邊長為1的正方形,
OD
=3
OA
,點P為△BCD(含邊界)內(nèi)的一個動點,設(shè)
OP
=x
OC
+y
OD
,則x2+9y2的最小值等于
 

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