Question

在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之間的“直角距離”為d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，若點(diǎn)C（x，y）到點(diǎn)A（1，3），B（6，9）的“直角距離”相等，其中實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足0≤x≤7，3≤y≤9，則所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的軌跡的長(zhǎng)度之和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離公式

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：點(diǎn)C（x，y）到點(diǎn)A（1，3），B（6，9）的“直角距離”相等，可得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|，（*）
由于實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足0≤x≤7，3≤y≤9，對(duì)x分類(lèi)討論：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，當(dāng)1≤x≤6時(shí)，當(dāng)6≤x≤7時(shí)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．

解答： 解：∵點(diǎn)C（x，y）到點(diǎn)A（1，3），B（6，9）的“直角距離”相等，
∴|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|，（*）
∵實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足0≤x≤7，3≤y≤9，
∴當(dāng)0≤x≤1時(shí)，（*）化為1-x+y-3=6-x+9-y，得到y(tǒng)=

17

2

，此時(shí)點(diǎn)C的軌跡長(zhǎng)度=1；
當(dāng)1≤x≤6時(shí)，（*）化為x-1+y-3=6-x+9-y，化為2x+2y=19，取點(diǎn)M(1，

17

2

)，N(6，

7

2

)，此時(shí)點(diǎn)C的軌跡長(zhǎng)度=|MN|=

(1-6)2+( 17 2 - 7 2 )2

=5

2

；
當(dāng)6≤x≤7時(shí)，（*）化為x-1+y-3=x-6+9-y，得到y(tǒng)=

7

2

，此時(shí)點(diǎn)C的軌跡長(zhǎng)度=1．
綜上可得：所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的軌跡的長(zhǎng)度之和為 5

2

+2．
故答案為：5

2

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義“直角距離”、分類(lèi)討論的思想方法、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力和技能數(shù)列，屬于難題．