Question

5．某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開設(shè)游泳選修課，為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān)，該學(xué)校對(duì)100名高一新生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

	喜歡游泳	不喜歡游泳	合計(jì)
男生		10
女生	20
合計(jì)

已知在這100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為$\frac{3}{5}$．
（1）請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整：并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)？并說明你的理由；
（2）針對(duì)于問卷調(diào)查的100名學(xué)生，學(xué)校決定從喜歡游泳的人中按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人成立游泳科普知識(shí)宣傳組，并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長，設(shè)這兩人中男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
下面的臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)在100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為$\frac{3}{5}$，可得喜愛游泳的學(xué)生，即可得到列聯(lián)表；利用公式求得K²，與臨界值比較，即可得到結(jié)論；
（2）喜歡游泳的共60人，按分層抽樣抽取6人，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率均為$\frac{1}{10}$，從而需抽取男生4人，女生2人．故X的所有可能取值為0，1，2，求出相應(yīng)的概率，即可求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）因?yàn)樵?00人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為$\frac{3}{5}$，
所以喜歡游泳的學(xué)生人數(shù)為$100×\frac{3}{5}=60$人…（1分）
其中女生有20人，則男生有40人，列聯(lián)表補(bǔ)充如下：

	喜歡游泳	不喜歡游泳	合計(jì)
男生	40	10	50
女生	20	30	50
合計(jì)	60	40	100

…（3分）
因?yàn)?{K^2}=\frac{{100{{（{40×30-20×10}）}^2}}}{60×40×50×50}≈16.67＞10.828$…（5分）
所以有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)…（6分）
（2）喜歡游泳的共60人，按分層抽樣抽取6人，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率均為$\frac{1}{10}$，
從而需抽取男生4人，女生2人．
故X的所有可能取值為0，1，2…（7分）$P（{X=0}）=\frac{C_2^2}{C_6^2}=\frac{1}{15}；P（{X=1}）=\frac{C_4^1C_2^1}{C_6^2}=\frac{8}{15}；P（{X=2}）=\frac{C_4^2}{C_6^2}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$，
X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{5}$

…（10分）
$EX=0×\frac{1}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{2}{5}=\frac{4}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)，考查X的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．