Question

已知集合D={（x₁，x₂）|x₁＞0，x₂＞0，x₁+x₂=k}．其中k為正常數(shù)．
（1）若k=2，設(shè)u=x₁x₂，求u的取值范圍．
（2）若k=2，對任意（x₁，x₂）∈D，求(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)的最大值．
（3）求使不等式(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)≥(

k

2

-

2

k

)2對任意（x₁，x₂）∈D恒成立的k的范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）通過k=2，設(shè)u=x₁x₂，化簡表達式，利用二次函數(shù)求u的取值范圍．
（2）若k=2，對任意（x₁，x₂）∈D，化簡(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)的表達式，通過函數(shù)的單調(diào)性，求解最大值．
（3）令(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=u+

1-k2

u

+2=f(u)，則(

k

2

-

2

k

)2=f(

k2

4

)，求使f(u)≥f(

k2

4

)對u∈(0，

k2

4

]恒成立的k的范圍．求出函數(shù)f(u)=u+

1-k2

u

+2在(0，

1-k2

]上遞減，在[

1-k2

，+∞)上遞增，推出

k2

4

≤

1-k2

，即可求出k的范圍．

解答： 解：（1）k=2，設(shè)u=x₁x₂，∴u=x1(2-x1)=-(x1-1)2+1．     
 故u的取值范圍為（0，1]
（2）變形，得(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=

1

x1x2

+x1x2-

x1

x2

-

x2

x1

=x1x2+

1

x1x2

-

x 2 1 + x 2 2

x1x2

=x1x2-

k2-1

x1x2

+2=u-

k2-1

u

+2=u-

3

u

+2f(u)=u-

3

u

+2，
在（0，1]上是增函數(shù)，
所以(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=u-

k2-1

u

+2≤0．
即當k=2時，(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)的最大值為0．
（3）令(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)=u+

1-k2

u

+2=f(u)，則(

k

2

-

2

k

)2=f(

k2

4

)，
即求使f(u)≥f(

k2

4

)對u∈(0，

k2

4

]恒成立的k的范圍．
由（2）知，要使(

1

x1

-x1)(

1

x2

-x2)≥(

k

2

-

2

k

)2對任意（x₁，x₂）∈D恒成立，必有0＜k＜1，
因此1-k²＞0，∴函數(shù)f(u)=u+

1-k2

u

+2在(0，

1-k2

]上遞減，在[

1-k2

，+∞)上遞增，
要使函數(shù)f（u）在(0，

k2

4

]上恒有f(u)≥f(

k2

4

)，必有

k2

4

≤

1-k2

，
即k⁴+16k²-16≤0，解得0＜k≤2

5 -2

．

點評：本題考查函數(shù)的恒成立，函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查分析問題解決問題的能力．