Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|
（Ⅰ）若函數(shù)φ（x）=|f（x）|-g（x）只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a≥-3時，求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應用,函數(shù)的零點

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）方程|f（x）|=g（x）可化為|x-1|（|x+1|-a）=0，易知x=1已是該方程的根，從而要使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且僅有一個等于1的解或無解，結合圖象可得a的范圍；
（2）當a≥-3時，求出函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）的解析式，根據(jù)分段函數(shù)最值的求法，分別求出各斷上函數(shù)的最值，然后求出它們的最大值即可．

解答： 解：（1）函數(shù)φ（x）=|f（x）|-g（x）只有一個零點，即|x²-1|=a|x-1|，變形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
顯然，x=1已是該方程的根，從而要使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且僅有一個等于1的解或無解，
作出函數(shù)y=|x+1|的圖象如圖所示：
結合圖形得a＜0．
（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x²-1|+a|x-1|
=

x2-ax+a-1，-2≤x≤-1 -x2-ax+a+1，-1＜x≤1

，
當-2≤x＜-1時，

a

2

≥-

3

2

，當x=-2時，h（x）的最大值為h（-2）=3a+3；
當-1≤x≤1時，h（x）的最大值為max{h（-1），h（1），h（-

a

2

）}=max{0，

1

4

a2+a+1，2a}=

1

4

a2+a+1．

點評：本題考查函數(shù)的零點和二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，其中求出函數(shù)的解析式是關鍵，求出分段函數(shù)在各斷上的最值，再比較大小是難點，考查運算能力和分類討論的數(shù)學思想．