Question

【題目】已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線過點(diǎn)．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，試問：k為何值時(shí)，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由題意結(jié)合雙曲線過點(diǎn)即可得，由拋物線的焦點(diǎn)可得，即可得解；

（Ⅱ）設(shè)，，聯(lián)立方程可得，，由可得，代入即可得解.

（Ⅰ）由題意設(shè)雙曲線方程為，雙曲線的半焦距為，

把代入得①,

又的焦點(diǎn)是，

∴，

與①聯(lián)立，消去可得，解得或（不合題意舍去），

于是，

∴雙曲線方程為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得雙曲線方程為，∴該雙曲線的漸近線為，

由直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)可得，

聯(lián)立方程可得，

消去y得，

當(dāng)即時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，

設(shè)，，則，，

因?yàn)?/span>，故，

，

，

化簡(jiǎn)得，∴，檢驗(yàn)符合條件，

故當(dāng)時(shí)，．