Question

20．關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)π的值：先請(qǐng)200名同學(xué)，每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1 的正實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)m；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m來估計(jì)π的值．假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=56，那么可以估計(jì)π≈$\frac{78}{25}$．（用分?jǐn)?shù)表示）

Answer 1

分析 由試驗(yàn)結(jié)果知200對(duì)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x，y，對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積為1，兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y），滿足x²+y²＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面積為$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，二者相等即可估計(jì)π的值．

解答 解：由題意，200對(duì)都小于l的正實(shí)數(shù)對(duì)（x，y），對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積為1，
兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y），滿足x²+y²＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面積為$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，
因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與l 構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y） 的個(gè)數(shù)m=56，
所以$\frac{56}{200}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，所以π=$\frac{78}{25}$．
故答案為：$\frac{78}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了隨機(jī)模擬法求圓周率的問題，也考查了幾何概率的應(yīng)用問題，是綜合題．