Question

20．關于圓周率π，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設計下面的實驗來估計π的值：先請200名同學，每人隨機寫下一個都小于1 的正實數(shù)對（x，y）；再統(tǒng)計兩數(shù)能與1構成鈍角三角形三邊的數(shù)對（x，y）的個數(shù)m；最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)m來估計π的值．假如統(tǒng)計結果是m=56，那么可以估計π≈$\frac{78}{25}$．（用分數(shù)表示）

Answer 1

分析 由試驗結果知200對0～1之間的均勻隨機數(shù)x，y，對應區(qū)域的面積為1，兩個數(shù)能與1構成鈍角三角形三邊的數(shù)對（x，y），滿足x²+y²＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面積為$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，由幾何概型概率計算公式，得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，二者相等即可估計π的值．

解答 解：由題意，200對都小于l的正實數(shù)對（x，y），對應區(qū)域的面積為1，
兩個數(shù)能與1構成鈍角三角形三邊的數(shù)對（x，y），滿足x²+y²＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面積為$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，
因為統(tǒng)計兩數(shù)能與l 構成鈍角三角形三邊的數(shù)對（x，y） 的個數(shù)m=56，
所以$\frac{56}{200}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，所以π=$\frac{78}{25}$．
故答案為：$\frac{78}{25}$．

點評 本題考查了隨機模擬法求圓周率的問題，也考查了幾何概率的應用問題，是綜合題．