Question

7．（1）利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$在$[{-\frac{π}{3}，\frac{11π}{3}}]$內(nèi)的簡圖

x
$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$
y

（2）若對(duì)任意x∈[0，2π]，都有f（x）-3＜m＜f（x）+3恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)列表、描點(diǎn)、連線的基本步驟，畫出函數(shù)在一個(gè)周期在$[{-\frac{π}{3}，\frac{11π}{3}}]$的大致圖象即可．
（2）根據(jù)x∈[0，2π]，求解f（x）的值域，要使f（x）-3＜m＜f（x）+3恒成立，轉(zhuǎn)化為最小和最大值問題．

解答 解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$在$[{-\frac{π}{3}，\frac{11π}{3}}]$內(nèi)的列表如下：

x	$-\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11π}{3}$
$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	0	1	0	-1	0

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)可得圖象如下：

（2）通過圖象可知：當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，函f（x）值域?yàn)?[{-\frac{1}{2}，1}]$，
要使f（x）-3＜m＜f（x）+3恒成立，
即：$\left\{\begin{array}{l}{1-3＜m}\\{-\frac{1}{2}+3＞m}\end{array}\right.$
解得：$-2＜m＜\frac{5}{2}$，
∴m的取值范圍是$m∈[{-2，\frac{5}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)畫三角函數(shù)的圖象的基本步驟畫出圖形，是基礎(chǔ)題．